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El M.A.S., un movimiento periódico (continuación)

oherentemente con su definición cinemática, la expresión de la velocidad v del M.A.S. se obtiene proyectando sobre el eje X la velocidad vc del movimiento circular auxiliar. Cuando ésta se considera en forma vectorial, como tangente a la trayectoria con módulo vc = w · R, su proyección resulta ser:

es decir:

(7.7)

Al igual que en la expresión de la elongación, puede ser sustituida en esta ecuación por 2pf o por 2p/T.

La representación gráfica de la variación de la velocidad v del M.A.S. con el tiempo indica de forma precisa que la rapidez con la que el punto vibrante se mueve sobre la trayectoria es máxima al pasar por el origen O (j = 0 o j = 180) y se hace nula en los extremos ( j = 90 o j = 270), es decir, para t = 0 o t = T/2, y para t = T/4 y t = 3T/4 respectivamente.

Aceleración

El movimiento circular uniforme presenta una aceleración que está relacionada con los cambios en dirección de la velocidad cuando ésta es considerada como un vector. La dirección del vector aceleración es la del radio y su sentido se orienta hacia el centro de la circunferencia trayectoria, siendo su módulo:

Cuando esta aceleración centrípeta (dirigida hacia el centro) del movimiento auxiliar se proyecta sobre el eje X, se obtiene la aceleración del M.A.S. correspondiente al punto P:

El signo - refleja el hecho de que el sentido del vector proyectado es, en este caso, opuesto al del movimiento. Sustituyendo vc y j por sus valores respectivos en función de w y considerando el radio R como la amplitud A se tiene:

(7.8)

La aceleración a resulta máxima en los puntos extremos de la trayectoria del M.A.S., puntos para los cuales el ángulo j correspondiente toma valores de 90 y 270 y la variable tiempo se hace igual a T/4 y 3T/4 respectivamente.

Algunas relaciones internas

Entre la elongación, la velocidad y la aceleración de un M.A.S. existen algunas relaciones internas. En el caso de la aceleración la relación con la elongación resulta inmediata. Basta comparar la ecuación (7.8) con la (7.4) para comprobar que, en efecto, a se puede escribir en función de x en la forma:

(7.9)

ecuación que muestra una relación de proporcionalidad entre la aceleración y la elongación. La relación de la velocidad con la elongación puede hacerse explícita eliminando en ambas la dependencia de w · t, lo que puede conseguirse del siguiente modo:

Se despeja en (7.4) y (7.7) las funciones seno y coseno respectivas:

A continuación se elevan al cuadrado y se suman miembro a miembro:

pero dado que para cualquier ángulo q se cumple la relación sen2q + cos2q = 1, en este caso se tendrá:

Así, pues, al eliminar w · t se obtiene una relación directa entre la velocidad v y la elongación x; despejando v de la ecuación anterior, resulta:

(7.10)

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